как доказать что биссектрисы двух вертикальных углов перпендикулярны?

Задачи на доказательство геометрических фактов из ГИА



Воскресенье, Январь 22, 2012

Предлагаю на этот раз устроить что-то вроде доказательного марафона по решению задач, которые предлагаются девятиклассникам в вариантах ГИА по математике во второй части под номером 20. Связаны они с доказательством несложных, но в то же время очень полезных геометрических фактов. Сегодня я намеренно не привожу в статье подробных решений, лишь некоторые наброски и подсказки. Постарайтесь преодолеть эту марафонскую дистанцию самостоятельно, без ошибок и за один подход.

Задача 1. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Угол α обозначен одной дугой, β двумя

Доказательство: из рисунка видно, что  α +  α +  β +  β = 2 α + 2 β = 180 0  (развернутый угол), следовательно,  α +  β  = 90 0 . Что и требовалось доказать.

Задача 2. Два отрезка AB и CD пересекаются в точке O , которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и CAB .

ABCD, конечно, будет параллелограммом, но в условии этого не дано

Доказательство: боковые треугольники равны по двум сторонам и углу между ними ( BO = OD по условию, AO = OC по условию, ∠ DOC = ∠ AOB вертикальные), то есть ∠ ACD = ∠ CAB , а поскольку они являются накрест лежащими при прямых AB , CD и секущей AC , то   AB параллельна DC . Аналогично доказываем параллельность прямых BC и AD.  Итак, ABCD параллелограмм по определению. BC = AD , AB = CD (в параллелограмме противоположные стороны равны), AC общая для треугольников  ACD и CAB , поэтому они равны по трем сторонам. Что и требовалось доказать.

source